Question

從坐標原點O作曲線y=lnx的切線OP（P為切點），再過切點P引切線的垂線L，L與y軸的交點為Q．
（Ⅰ）求點P及點Q的坐標；
（Ⅱ）證明：點P是曲線y=lnx上距離點Q最近的點．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,兩點間距離公式的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，利用導數的幾何意義以及直線垂直的位置關系即可求點P及點Q的坐標；
（Ⅱ）求出Q到直線OP的距離與|PQ|的關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）函數的f（x）的導數f′（x）=

1

x

，設切點為P（a，lna），
則切線斜率k=

1

a

，則切線方程為y-lna=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
∵直線過原點，∴-lna=-1，
解得a=e，即P（e，1）．即切線方程為y-1=

1

e

（x-e），
過切點P引切線的垂線L，則垂線L的斜率k=-e，
則對應方程為y-1=-e（x-e），
令x=0，則y=1+e²，
即Q的坐標為（0，1+e²）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知過原點與y=lnx的切線方程為y=

1

e

x，
即x-ey=0，
則Q到直線x-ey=0的距離d=

|e(1+e2)|

1+e2

=e•

1+e2

，
而|QP|=

e2+(1+e2-1)2

=

e2+e4

=e•

1+e2

=d，
∴點Q到直線OP的距離為|QP|，
即點P是曲線y=lnx上距離點Q最近的點，

點評：本題主要考查導數的綜合應用，利用導數求出切線斜率是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．