Question

17．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_n•S_n+1，則S_n=（　　）

• A． n
• B． $\frac{1}{n}$
• C． -n
• D． -$\frac{1}{n}$

Answer 1

分析 由已知數列遞推式可得S_n+1-S_n=S_n•S_n+1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$，由此可知，數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1為首項，以-1為公差的等差數列，求出等差數列的通項公式得答案．

解答 解：由a_n+1=S_n•S_n+1，得S_n+1-S_n=S_n•S_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$，又$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=-1$，
∴數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1為首項，以-1為公差的等差數列，
則$\frac{1}{{S}_{n}}=-1+（n-1）×（-1）=-n$，
∴${S}_{n}=-\frac{1}{n}$．
故選：D．

點評 本題考查數列遞推式，考查等差關系的確定，訓練了等差數列通項公式的求法，是中檔題．