Question

如圖，兩高速公路線垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲汽車從A站出發(fā)，沿AC方向以50千米/小時的速度行駛，同時乙汽車從B站出發(fā)，一年BA方向以v千米/小時的速度行駛，至A站即停止前行（甲車仍繼續(xù)行駛）（兩車的車長忽略不計）．
（1）甲、乙兩車的最近距離為

 

（用含v的式子表示）；
（2）若甲、乙兩車從開始行駛到甲、乙兩車相距最近時所用時間為t₀小時，則當(dāng)v為

 

時t₀最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)乙車行駛t小時到D，甲車行駛t小時到E，分類討論，利用二次函數(shù)確定最值；
（2）利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)乙車行駛t小時到D，甲車行駛t小時到E
若0≤vt≤100，則DE²=AE²+AD²=（100-vt）²+（50t）²=（2500+v²）t²-200vt+10000
∴t=

100v

2500+v2

時，DE²取到最小值，DE也取到最小值，最小值為

5000

2500+v2

；
若vt＞100，乙車停止，甲車?yán)^續(xù)前行，DE越來越大，無最大值
綜上，甲，乙兩車的最近距離為

5000

2500+v2

千米；
（2）t₀=

100v

2500+v2

=

100

2500 v +v

≤

100

100

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)v=

2500

v

，即v=50千米/小時，t₀最大，
故答案為：

5000

2500+v2

；50千米/小時；

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．