Question

已知橢圓Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其離心率與雙曲線

x2

3

-y²=1的離心率互為倒數，而直線x+y=

3

恰過橢圓Ω的焦點．
（1）求橢圓Ω的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為A、B，上頂點為C，點P是橢圓上不同于頂點的任意一點，連接BP交直線AC于點M，連接CP與x軸交于點N，記直線MN，MB斜率分別為k₁，k₂，求2k₁-k₂是否為定值，若是求出該定值并證明，若不是說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）先求雙曲線的離心率，從而得到橢圓的離心率，再由直線x+y=

3

恰過橢圓Ω的焦點求出c，從而求a，b；
（2）由題意，A（-2，0），B（2，0），C（0，1），設P（2cosα，sinα）；由直線相交可得M（2

sinα+cosα-1

sinα-cosα+1

，

2sinα

sinα-cosα+1

），N（

2cosα

1-sinα

，0）；從而寫出k₁=

2sinα sinα-cosα+1 -0

2 sinα+cosα-1 sinα-cosα+1 - 2cosα 1-sinα

=

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

，k₂=

sinα

2cosα-2

；代入2k₁-k₂=2

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

-

sinα

2cosα-2

化簡即可．

解答： 解：（1）雙曲線

x2

3

-y²=1的離心率為

3+1

3

=

2

3

，
故橢圓Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

；
又∵直線x+y=

3

恰過橢圓Ω的焦點，
∴焦點坐標為（

3

，0），
故a=2，c=

3

，b=1；
故橢圓Ω的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由題意，A（-2，0），B（2，0），C（0，1），
設P（2cosα，sinα）；
直線AC的方程為：

x

-2

+

y

1

=1，
即x-2y+2=0①；
直線BP的方程為：y-0=

sinα

2cosα-2

（x-2）②；
由①②聯立解得，M（2

sinα+cosα-1

sinα-cosα+1

，

2sinα

sinα-cosα+1

）；
直線CP的方程為：y-1=

sinα-1

2cosα

（x-0）；代入y=0可解得，
x=

2cosα

1-sinα

，故N（

2cosα

1-sinα

，0）；
則k₁=

2sinα sinα-cosα+1 -0

2 sinα+cosα-1 sinα-cosα+1 - 2cosα 1-sinα

=

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

，
k₂=

sinα

2cosα-2

；
則2k₁-k₂=2

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

-

sinα

2cosα-2

=

2(1-sinα)(cosα-1)-sinα(1-sinα-cosα)

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

[2（1-sinα）（cosα-1）-sinα（1-cosα）+sin²α]
=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

[（cosα-1）（2-2sinα+sinα）+（1-cosα）（1+cosα）]
=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

[（cosα-1）（2-sinα-1-cosα）]
=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

（cosα-1）（1-sinα-cosα）
=

1

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線方程的應用，主要考查了學生的化簡運算能力，屬于難題．