Question

已知函數f（x）=xlnx+mx（m∈R）的圖象在點（1，f（1））處的斜率為2．
（1）求實數m的值；
（2）f（x）≤kx²對?x＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）已知m，n∈N^*且m＞n＞1，證明：

m n

n m

＞

n

m

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，令f′（1）=2，即可得到m；
（2）由（Ⅰ），知f（x）=x+xlnx，f（x）≤kx²對任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

對任意x＞0成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，則問題轉化為求g（x）的最大值，只要k不小于最大值即可．
（3）令h（x）=

xlnx

x-1

，則h′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

．由（2），知x≥1+lnx（x＞0），由h′（x）≥0，
則h（x）是（1，+∞）上的增函數，運用單調性化簡整理即可得證．

解答： （1）解：求導數，得f′（x）=m+lnx+1，
由已知，得f′（1）=2，即m+ln1+1=2，
∴m=1；
（2）解：由（Ⅰ），知f（x）=x+xlnx，
∴f（x）≤kx²對任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

對任意x＞0成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，則問題轉化為求g（x）的最大值．
求導數，得g′（x）=-

lnx

x2

，令g′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數；
當x＞1時，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數．
故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1．
∴k≥1即為所求；
（3）證明：令h（x）=

xlnx

x-1

，則h′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

．
由（Ⅱ），知x≥1+lnx（x＞0），∴h′（x）≥0，
∴h（x）是（1，+∞）上的增函數．
∵m＞n＞1，∴h（m）＞h（n），即

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，
∴mnlnm-mlnm＞mnlnn-nlnn，
即mnlnm+nlnn＞mnlnn+mlnm，
即lnm^mn+lnnⁿ＞lnn^mn+lnm^m，
即ln（nm^m）ⁿ＞ln（mnⁿ）^m，
∴（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，
∴m•n

1

m

＞n•m

1

n

，
即有

m n

n m

＞

n

m

．

點評：本題考查導數的綜合應用：求切線方程，求單調區間和極值、最值，考查不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，同時考查分離參數法和運用單調性證明不等式問題，屬于中檔題．