Question

7．已知函數f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）-cos²x-$\sqrt{3}$．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{25}{36}$π]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性求得函數的減區間．
（2）利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{25}{36}$π]上的最大值．

解答 解：（1）∵函數f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）-cos²x-$\sqrt{3}$ 
=-cos2x+2$\sqrt{3}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$=-cos2x+2$\sqrt{3}$•（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x）-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ$\frac{5π}{6}$，可得函數的減區間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{25}{36}$π]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{11π}{9}$]，故當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的單調性、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．