Question

20．已知一三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長相等，B₁在底面ABC上的射影是AC的中點，則異面直線AA₁與BC所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先找到異面直線Bc與AA₁所成的角（如∠B₁BC）；而欲求其余弦值可考慮余弦定理，則只要表示出B₁C的長度即可；不妨設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長為1，利用勾股定理即可求之．

解答 解：解：設AC的中點為O，連接BO、B₁C，易知θ∠B₁BC即為直線AA₁與BC所成角．
并設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長為1，
則BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在Rt△B₁BO中，∵$B{B}_{1}=1，BO=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得${B}_{1}O=\frac{1}{2}$．
在R△B₁CO中，OC=$\frac{1}{2}$，可得${B}_{1}C=\frac{\sqrt{2}}{2}$
在△BB₁C中，由余弦定理，得cosθ=$\frac{B{{B}_{1}}^{2}+B{C}^{2}-{B}_{1}{C}^{2}}{2B{B}_{1}B•C}=\frac{3}{4}$．
故選：B．

點評 本題主要考查異面直線的夾角，轉化為平面問題，在利用余弦定理求解，屬于中檔題．．