Question

5．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2sin²x+2，x∈R．
（ I）求函數f（x）的單調增區間以及對稱中心；
（ II）若函數f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，得到的函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求實數m的最小值．

Answer 1

分析 （ I）先化簡函數，再求函數f（x）的單調增區間以及對稱中心；
（ II）求出g（x），利用函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求實數m的最小值．

解答 解：（ I）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2sin²x+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1           …（2分）
∴令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函數的單調增區間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z          …（4分）
又令$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，解得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，k∈Z$
∴函數的對稱中心為$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，1），k∈Z$…（6分）
（ II）若函數f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位，則得到的函數為$g（x）=2sin[2（x+m）+\frac{π}{6}]+1$
∴$g（x）=2sin（2x+2m+\frac{π}{6}）+1$…（8分）
又函數g（x）的圖象關于y軸對稱
∴當x=0時，函數g（x）取得最大或最小值
∴$2m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
∴$m=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈Z$…（10分）
又m＞0
∴實數m的最小值為$\frac{π}{6}$．…（12分）

點評 本題考查三角函數的圖象與性質，考查三角函數的化簡，屬于中檔題．