Question

13．如圖，正四棱錐P-ABCD中底面邊長為2$\sqrt{2}$，側棱PA與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
（1）求正四棱錐P-ABCD的外接球半徑；
（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結AC，BD交于點O，連結PO，則PO⊥面ABCD，利用側棱PA與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，可得PO=$\sqrt{6}$，利用勾股定理建立方程，求出R；
（2）容易證明以EO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}PD$．可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，在Rt△AOE中求解

解答 解：（1）連結AC，BD交于點O，連結PO，則PO⊥面ABCD，
∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，
∴tan∠PAO=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
又AB=2$\sqrt{2}$，則PO=AO•tan∠PAO=$\sqrt{6}$．
設F為外接球球心，連FA，
易知FA=FP，設FO=x，則
x²+4=（$\sqrt{6}$-x）²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴正四棱錐P-ABCD的外接球半徑為$\frac{5\sqrt{6}}{6}$；
（2）連結EO，由于O為BD中點，E為PD中點，所以EO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}PD$．
∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角．
在Rt△POD中，$PD=\sqrt{O{D^2}+P{O^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∴$EO=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$．
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．
所以AO⊥EO，
在Rt△OAE中，tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{4}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
即異面直線PD與AE所成角的正切值為$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出正四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關鍵．