Question

8．若X是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：
（1）X∈M，Φ∈M；
（2）對于X的任意子集A，B，當A∈M，B∈M時，A∪B∈M，A∩B∈M．則稱M是集合X的一個“M-集合類”．
例如：M={Φ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一個“M-集合類”．已知集合X={a，b，c}，則所有含{b，c}的“M-集合類”的個數為10．

Answer 1

分析 根據新定義以集合為元素組成集合，由題意知M-集合類集合至少含有三個元素：∅，{b，c}，{a，b，c}，然后再研究其它幾個元素的添加方式有多少個，可分添加元素的個數分為0，1，2，3，4，5共六類進行討論得出結論．

解答 解：依題意知，M中至少含有這幾個元素：∅，{b，c}，{a，b，c}，將它看成一個整體；
剩余的{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}共5個，{a，b}和{b}必須同時在M中，{a，c}和{c}必須同時在M中；
①{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加0個的集合為{∅，{b，c}，{a，b，c}}，一種
②{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加1個的集合為{∅，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，{∅、{b}，{b，c}，{a，b，c}}，{∅、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共三種
③{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加2個的集合共3種即{b}、{c}；{c}、{a，c}；{b}、{a，b}三種添加方式
④{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加3個的集合共2種，即：{b}、{c}、{a，c}；④{a}、{b}、{a，b}二種
⑤{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加4個的集合共0種
⑥{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加5個的集合共1種
綜上討論知，共10種
故答案為：10．

點評 本題是一道新定義，比較麻煩，注意M-集合類滿足的條件，根據M-集合類的元素個數進行書寫，會方便些，是中檔題．