Question

19．若命題“直線y=kx+2與圓x²+y²=1有公共點”是假命題，則實數k的取值范圍是（-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可知：圓心（0，0）到直線y=kx+2距離d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，由命題P“直線y=kx+2與圓x²+y²=1有公共點”是假命題，則￢P為真，即可求得k的取值范圍．

解答 解：由題意可知：直線y=kx+2與圓x²+y²=1有公共點，即圓心到直線y=kx+2距離d≤1，
∴圓心（0，0）到直線y=kx+2距離d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，解得：k≥$\sqrt{3}$或k≤-$\sqrt{3}$，
由命題P“直線y=kx+2與圓x²+y²=1有公共點”是假命題，則￢P為真，
∴-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$，
實數k的取值范圍（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
故答案為：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查命題的真假性的判斷，考查計算能力，屬于中檔題．