Question

6．設函數f（x）=|x-a|-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）當0＜a≤1時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）對參數a進行分類討論，去絕對值分別求解即可．
（2）在區間內去絕對值，利用一次函數的單調性判斷函數的最值，分別求最小值即可．

解答 解：（1）當x≥a時，（x-a）-ax＜0 即（1-a）x＜a
                 ①當0＜a＜1時，a≤x＜$\frac{a}{1-a}$
                 ②當a=1時，x≥a
                 ③當a＞1時，x＞$\frac{a}{1-a}$
                 當x＜a時，（a-x）-ax＜0 即（1+a）x＞a
                  從而x＞$\frac{a}{1+a}$，
故$\frac{a}{1+a}$＜x＜a
        綜上所述，①當0＜a＜1時，$\frac{a}{1+a}$＜x＜$\frac{a}{1-a}$
                          ②當a=1時，x＞$\frac{a}{1+a}$
                          ③當a＞1時，x＞$\frac{a}{1-a}$
  （2）當x≥a時，f（x）=（x-a）-ax=（1-a）x-a
             因為0＜a＜1，所以斜率1-a＞0，
f（x）在[a，+∞]單調增，在x=a處取到最小值-a²，
            當x＜a時，f（x）=（a-x）-ax=a-（1+a）x
             斜率-（1+a）＜0，f（x）在[-∞，a）單調減，f（x）＞f（a）=-a²，
            綜上所述，當0＜a≤1時，f（x）的最小值為-a²．

點評 考查了絕對值函數的分類討論問題，難點是對參數的分類．