Question

11．已知兩點A（-1，0）、B（0，2），點P是圓（x-1）²+y²=1上任意一點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值是3+$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 設P（x，y），根據向量數量積的定義求出表達式，然后利用兩點間的距離公式進行求解即可．

解答 解：設P（x，y），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-1-x，-y）•（-x，2-y）=（1+x）x-y（2-y）=x²+x+y²-2y=（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²-$\frac{5}{4}$，
設z=（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²，則z的幾何意義是P到定點D（-$\frac{1}{2}$，1）的距離的平方，
圓心C（1，0），半徑R=1，
則CD=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
則PD的最大值為CD+r=$\frac{\sqrt{13}}{2}$+1，則PD的平方得（$\frac{\sqrt{13}}{2}$+1）²=$\frac{13}{4}$+$\sqrt{13}$+1，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為$\frac{13}{4}$+$\sqrt{13}$+1-$\frac{5}{4}$=3+$\sqrt{13}$，
故答案為：3+$\sqrt{13}$

點評 本題主要考查向量數量積的應用，利用兩點間的距離公式是解決本題的關鍵．