Question

7．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^{-x}}-2，x≤0\\ 2ax-1，x＞0\end{array}$（a＞0），對于下列命題：
（1）函數f（x）的最小值是-1；
（2）函數f（x）在R上是單調函數；
（3）若f（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a＞1，
其中真命題的序號是（1）．

Answer 1

分析 畫出圖象，根據圖象判定（1），（2），對于（3）由圖象說明函函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是單調增函數，f（x）_min＞0即可，
即f（$\frac{1}{2}$）≥0解，得a的取值范圍是a≥1；

解答 解：對于（1），由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；故正確；
對于（2），由圖象說明函函數f（x）在R上不是單調函數；故錯；
對于（3）由圖象說明函函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是單調增函數，f（x）_min＞0即可，
即f（$\frac{1}{2}$）≥0解，得a的取值范圍是a≥1；故錯；
答案為：（1）

點評 利用函數的圖象研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值是常用的方法，解答本題的關鍵是圖象法