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12.設F是雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一個焦點,若C上存在點P,使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點,則雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

分析 設F(c,0),P(m,n),(m<0),設PF的中點為M(0,b),即有m=-c,n=2b,將中點M的坐標代入雙曲線方程,求出a與b的關系,即可求出雙曲線C的漸近線方程.

解答 解:設F(c,0),P(m,n),(m<0),
設PF的中點為M(0,b),
即有m=-c,n=2b,
將點(-c,2b)代入雙曲線方程可得,
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
又c2=a2+b2
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4,
∴$\frac{b}{a}$=2,
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±2x,
故答案為:y=±2x

點評 本題考查雙曲線的方程和性質,主要考查雙曲線的漸近線方程的求法,同時考查中點坐標公式的運用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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