Question

16．某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分成四組，其頻率分布直方圖如圖所示．工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試．已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如表所示．假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響．

年齡分組	A項培訓成績優秀人數	B項培訓成績優秀人數
[20，30）	27	16
[30，40）	28	18
[40，50）	26	9
[50，60]	6	4

（1）若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求四個年齡段應分別抽取的人數；
（2）根據頻率分布直方圖，估計全廠工人的平均年齡；
（3）隨機從年齡段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，設這兩人中AB兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖可知，年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的人數的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15，由此能示出四個年齡段分別應抽取的人數．
（2）各年齡組的中點值分別為25，35，45，55，對應的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15，由此能由此估計全廠工人的平均年齡．
（3）因為年齡段[20，30）的工人數為36，從該年齡段任取1人，A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率為$\frac{1}{3}$．年齡段[40，50）的工人數為24，從該年齡段任取1人，A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率為$\frac{1}{4}$，由題設，X的可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知，年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的人數的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15，
因為40×0.3=12，40×0.35=14，40×0.2=8，40×0.15=6，
所以年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）應抽取的人數分別為12，14，8，6．
（2）因為各年齡組的中點值分別為25，35，45，55，
對應的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15，
則$\overline{x}$=25×0.3+35×0.35+45×0.2+55×0.15=37．
由此估計全廠工人的平均年齡約為37歲
（3）因為年齡段[20，30）的工人數為120×0.3=36，
從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結業考試成績優秀的概率為$\frac{27}{36}$=$\frac{3}{4}$，
B項培訓結業考試成績優秀的概率為$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，
所以A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率為$\frac{3}{4}×\frac{4}{9}=\frac{1}{3}$．
因為年齡段[40，50）的工人數為120×0.2=24，
從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結業考試成績優秀的概率為$\frac{16}{24}$=$\frac{2}{3}$，
B項培訓結業考試成績優秀的概率為$\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$，
所以A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率為$\frac{2}{3}×\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$，
由題設，X的可能取值為0，1，2．
P（X=0）=（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，
所以X的分布列是

X	0	1	2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

期望E（X）=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{1}{12}$=$\frac{7}{12}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審，在歷年高考中都是必考題型之一．