Question

8．已知經過點A（-4，0）的動直線l與拋物線G：x²=2py（p＞0）相交于B、C，當直線l的斜率是$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出B，C的坐標，利用點斜式求得直線l的方程，與拋物線方程聯立消去x，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，由$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．根據求得y₂=4y₁，最后聯立方程求得y₁，y₂和p，則拋物線的方程可得．
（2）設直線l的方程，AB中點坐標，把直線與拋物線方程聯立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達定理表示出x₁+x₂，進而求得x₀，利用直線方程求得y₀，進而可表示出AB的中垂線的方程，求得其在y軸上的截距，根據k的范圍確定b的范圍．

解答 解：（Ⅰ）直線l的斜率是$\frac{1}{2}$時，直線BC的方程為：x=2y-4，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{x=2y-4}\end{array}\right.$，整理得：2y²-（8+p）y+8=0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{8+p}{2}$，y₁•y₂=4，
由$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．則y₁=4y₂，
由p＞0，解得：y₁=1，y₂=4，
∴p=2，
∴拋物線G：x²=4y；
（Ⅱ）設l：y=k（x+4），BC中點坐標為（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-16k=0，
∴由韋達定理可知：x₁+x₂=2k，則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k．則y₀=k（x₀+4）=2k²+4k，
∴BC的中垂線方程為y-（2k²+4k）=-$\frac{1}{k}$（x-2k），
∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k²+4k+2=2（k+1）²，
對于方程由△=16k²+64k＞0，解得：k＞0或k＜-4．
∴b的取值范圍（2，+∞）．

點評 本題主要考查拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題．考查判別式和韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．