Question

19．已知圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0．
（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；
（2）若直線l過點（0，2）與圓C相交于點A、B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）直線l與圓C相切，則$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，解得a值；
（2）若直線l過點（0，2）即x-y+2=0，代入圓的弦長公式，可得答案．

解答 解：將圓C的方程x²+y²-8y+12=0化為標準方程x²+（y-4）²=4，
則此圓的圓心為（0，4），半徑為2．…（2分）
（1）若直線l與圓C相切，
則有$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2．…（4分）
解得a=-$\frac{3}{4}$．…（6分）
（2）直線l的方程為：$\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1$，
即x-y+2=0，…（8分）
圓心（0，4）到l的距離為$d=\frac{{|{-4+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，…（10分）
則$AB=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$…（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，圓的弦長公式，難度中檔．