Question

4．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點A（1，0）．
（1）若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁的傾斜角為$\frac{π}{4}$，l₁與圓C相交于P、Q兩點，求線段PQ的中點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（2）l₁的方程為y=x-1，過圓心C與l₁垂直的方程為y-4=-（x-3），聯立兩個方程可得線段PQ的中點M的坐標．

解答 解：（1）①若直線l₁的斜率不存在，即直線x=1，符合題意．
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即$\frac{|3k-4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解之得k=$\frac{3}{4}$．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．
（2）l₁的方程為y=x-1，過圓心C與l₁垂直的方程為y-4=-（x-3）
聯立兩個方程可得x=4，y=3，
∴線段PQ的中點M的坐標為（4，3）．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系以及直線與直線的交點，屬于中檔題．