Question

12．某休閑廣場中央有一個半徑為1（百米）的圓形花壇，現計劃在該花壇內建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）構成的六邊形ABCDEF區域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上，CF為圓的直徑（如圖）．設∠AOF=θ，其中O為圓心．
（1）把六邊形ABCDEF的面積表示成關于θ的函數f（θ）；
（2）當θ為何值時，可使得六邊形區域面積達到最大？并求最大面積．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CF于H，則六邊形的面積為f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）求導，分析函數的單調性，進而可得θ=$\frac{π}{3}$時，f （θ）取最大值．

解答 （本題滿分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
則OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）
則六邊形的面積為f （θ）=2×$\frac{1}{2}$（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ
=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．                           …（6分）
（2）f′（θ）=2[-sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]
=2（2cos²θ+cosθ-1）=2（2cosθ-1）（cosθ+1）．            …（10分）
令 f′（θ）=0，因為θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$，…（12分）
當θ∈（0，$\frac{π}{3}$）時，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，$\frac{π}{3}$）上單調遞增；
當θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞減，…（14分）
所以當θ=$\frac{π}{3}$時，f （θ）取最大值f （$\frac{π}{3}$）=2（cos$\frac{π}{3}$+1）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．    …（15分）
答：當θ=$\frac{π}{3}$時，可使得六邊形區域面積達到最大，最大面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$平方百米．…（16分）

點評 本題考查的知識點是三角函數的實際應用，利用導數研究函數的最大值，難度中檔．