Question

3．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|=10，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為25．

Answer 1

分析 根據拋物線的解析式y²=2px（p＞0），寫出拋物線的焦點、對稱軸以及準線，然后根據通徑|AB|=2p，求出p，△ABP的面積是|AB|與DP乘積一半．

解答 解：由于拋物線的解析式為y²=2px（p＞0），
則焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），對稱軸為x軸，準線為x=-$\frac{p}{2}$，
∵直線l經過拋物線的焦點，A、B是l與C的交點，
又∵AB⊥x軸
∴|AB|=2p=10
∴p=5
又∵點P在準線上
∴DP=$\frac{p}{2}$+|-$\frac{p}{2}$|=p=5
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$DP•AB=$\frac{1}{2}$×5×10=25
故答案為25．

點評 本題主要考查拋物線焦點、對稱軸、準線以及焦點弦的特點；關于直線和圓錐曲線的關系問題一般采取數形結合法．