Question

8．在正三角形△ABC內任取一點P，則點P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長一半的概率為（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{18}$

Answer 1

分析 先求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內的點到三角形的頂點A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案．

解答 解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：設邊長為2，
其中正三角形ABC的面積S_三角形=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
滿足到正三角形ABC的頂點A、B、C的距離至少有一個小于1的平面區域如圖中陰影部分所示，其加起來是一個半徑為1的半圓，
則S_陰影=$\frac{1}{2}$π，
則使取到的點到三個頂點A、B、C的距離都大于1的概率是：P=1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式．幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．