Question

10．已知直線l：12x-5y=3與x²+y²-6x-8y+16=0相交于A，B兩點，則|AB|=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和圓的半徑r，根據(jù)題意畫出圖形，利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，由求出的d與半徑r，根據(jù)垂徑定理與勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的長．

解答 解：把圓的方程化為標準方程得：（x-3）²+（y-4）²=9，
∴圓心坐標為（3，4），半徑r=3，
∴圓心到直線12x-5y=3的距離d=$\frac{|12×3-5×4-3|}{\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}}$=1，
則|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=4$\sqrt{2}$
故答案為：4$\sqrt{2}$

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，勾股定理以及垂徑定理，考查了數(shù)形結合的思想．當直線與圓相交時，常常過圓心作直線的垂直，由弦心距、圓的半徑以及弦長得一半構造直角三角形，借助圖形，利用勾股定理求出直線被圓所截得弦的長度．