Question

13．已知函數$f（x）=-\frac{1}{a}+\frac{2}{x}（x＞0）$
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的增減性，并證明你的結論
（2）解關于x的不等式f（x）＞0
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數與函數單調性的關系進行判斷與證明；
（2）求出f（x）=0的解，再根據f（x）的單調性得出不等式的解；
（3）令g（x）=f（x）+2x，求出g（x）的最小值，令g_min（x）≥0即可解出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上是減函數，
證明：f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（2）①若a＜0，則f（x）=-$\frac{1}{a}+\frac{2}{x}$＞0恒成立，
∴f（x）＞0的解為（0，+∞）；
②若a＞0，令f（x）=-$\frac{1}{a}+\frac{2}{x}$=0得x=2a．
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴f（x）＞0的解為（0，2a）．
綜上，當a＜0時，不等式f（x）＞0的解集是（0，+∞），
當a＞0時，不等式f（x）＞0的解集是（0，2a）．
（3）令g（x）=f（x）+2x=-$\frac{1}{a}+\frac{2}{x}$+2x，
則g′（x）=2-$\frac{2}{{x}^{2}}$=2（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∴當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
∴g_min（x）=g（1）=-$\frac{1}{a}$+4，
∵f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴-$\frac{1}{a}$+4≥0，解得a＜0或a≥$\frac{1}{4}$．
∴a的取值范圍是{a|a＜0或a≥$\frac{1}{4}$}．

點評 本題考查了函數單調性的證明與應用，函數最值的計算，函數恒成立問題研究，屬于中檔題．