Question

14．已知指數函數y=g（x）滿足：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，定義域為R的函數f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函數．
（1）確定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）解關于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）由g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，可得y=g（x）的解析式；由函數f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函數，可得m值，進而可得y=f（x）解析式；
（2）函數f（x）在R為減函數，作差判斷可得緒論；
（3）f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．又因為f（x）是奇函數，所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于t²-2t＞-2t²+1，解得答案．

解答 解：（1）設g（x）=a^x，
∴g（$\frac{1}{2}$）=${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴g（x）=2^x，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$，
∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{1-{2}^{-x}}{m+2•{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{m{2}^{x}+2}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$，
解得m=2，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+2•{2}^{x}}$    （4分）
（2）函數f（x）在R為減函數，理由如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則$1+{2}^{{x}_{1}}＞0$，$1+{2}^{{x}_{2}}＞0$，${{2}^{{x}_{2}}-2}^{{x}_{1}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{2+2•{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{2+2•{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）…（6分）
故函數f（x）在R為減函數．  （8分）
（3）f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．又因為f（x）是奇函數，
所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因為f（x）是減函數，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，即3t²-2t-1＞0，
解不等式可得{t|t＞1或$\left.{t＜-\frac{1}{3}}\right\}$．（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，轉化思想，難度中檔．