Question

5．如圖所示幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為16+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，代入錐體表面積公式，可得答案．

解答 解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，
其直觀圖如下圖所示：

E和F分別是AB和CD中點，作EM⊥AD，連接PM，且PD=PC，
由三視圖得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2
在直角三角形△PEF中，PF=$\sqrt{{EF}^{2}+{PE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在直角三角形△DEF中，DE=$\sqrt{{EF}^{2}+{DF}^{2}}$=$\sqrt{5}$，同理在直角梯形ADEF中，AD=$\sqrt{5}$，
根據△AED的面積相等得，$\frac{1}{2}$×AD×ME=$\frac{1}{2}$×AE×EF，解得ME=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，
在直角三角形△PME中，PM=$\sqrt{{EM}^{2}+{PE}^{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
∴該四棱錐的表面積S=$\frac{1}{2}$×（4+2）×2+$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$+2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{6}{\sqrt{5}}$=16+2$\sqrt{2}$．
故答案為：16+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的直觀圖，難度中檔．