Question

17．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．
（ I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（ II）若AC=1，PA=1，求圓心O到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥BC，PA⊥BC，然后證明BC⊥平面PAC，轉化證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）過A點作AD⊥PC于點D，連BD，取BD的中點E，連OE，說明OE長就是O到平面PBC的距離，然后求解即可．

解答 解：（1）證明：由AB是圓的直徑得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC，…（4分）
又∴BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC…（6分）
（2）過A點作AD⊥PC于點D，則由（1）知AD⊥平面PBC，…（8分）
連BD，取BD的中點E，連OE，則OE∥AD，
又AD⊥平面PBCOE⊥平面PBC，
所以OE長就是O到平面PBC的距離．…（10分）
由中位線定理得$OE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{PA×AC}{PC}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$…（12分）

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及點、線、面距離的求法，考查轉化思想以及計算能力．