Question

8．已知$\overrightarrow{AB}$=（cos23°，cos67°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos68°，2cos22°），則△ABC的面積為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據題意，利用$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$的坐標，可得$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$的模，由數量積公式，可得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的值，進而由cos∠B=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$，可得cos∠B，由余弦函數的性質，可得∠B，最后由三角形面積公式，計算可得答案．

解答 解：根據題意，$\overrightarrow{AB}$=（cos23°，cos67°），則$\overrightarrow{BA}$=-（cos23°，sin23°），有|$\overrightarrow{BA}$|=1，
由于，$\overrightarrow{BC}$=（2cos68°，2cos22°）=2（cos68°，sin68°），則|$\overrightarrow{BC}$|=2，
則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-2（cos23°cos68°+sin23°sin68°）=-2×cos45°=-$\sqrt{2}$，
可得：cos∠B=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則∠B=135°，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|sin∠B=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故選：D．

點評 本題考查數量積的坐標運算，關鍵是由余弦函數的和角公式求出$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，注意角B是向量$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$的夾角，屬于中檔題．