Question

18．某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動的次數與相對應的人數的對應關系如表：

次數	1	2	3	4
人數	1	4	4	1

現從這10人中隨機選出2人作為該組代表在活動總結會上發言．
（Ⅰ）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為6”，求事件A發生的概率；
（Ⅱ）設X為選出的2人參加義工活動次數之和，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從這10人中隨機選出2人的基本事件個數為：${∁}_{10}^{2}$．設選出的2人參加義工活動次數之和為事件A，選出的2人中1人參加2次另一人參加4次為事件M，選出的2人均參加3次為事件N．事件M所含基本事件的個數為${∁}_{4}^{1}•{∁}_{1}^{1}$個，事件N所含基本事件的個數為${∁}_{4}^{2}$個，利用古典概率與互斥事件概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，利用相互定理與互斥事件概率計算公式及其數學期望計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）從這10人中隨機選出2人的基本事件個數為：$C_{10}^2=45$個．
設選出的2人參加義工活動次數之和為事件A，選出的2人中1人參加2次另一人參加4次為事件M，選出的2人均參加3次為事件N．
事件M所含基本事件的個數為$C_4^1•C_1^1=4$個，
事件N所含基本事件的個數為$C_4^2=6$個，
根據古典概型可知，$P（M）=\frac{4}{45}$，$P（N）=\frac{6}{45}$，
因為M和N互斥事件，且A=M+N
所以$P（A）=P（M+N）=P（M）+P（N）=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$…．（6分）
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，7$P（X=3）=\frac{C_4^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{45}$，$P（X=4）=\frac{C_4^1•C_1^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{10}{45}$，$P（X=5）=\frac{C_4^1•C_4^1+C_1^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{17}{45}$，$P（X=6）=\frac{C_4^1•C_1^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{10}{45}$，$P（X=7）=\frac{C_4^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{45}$，
所以X的分布列如下：

X	3	4	5	6	7
P	$\frac{4}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{45}$

EX=$3×\frac{4}{45}$+$4×\frac{2}{9}$+$5×\frac{17}{45}$+$6×\frac{2}{9}$+$7×\frac{4}{45}$=5．…．（13分）

點評 本題考查了古典概率計算公式、相互定理與互斥事件概率計算公式及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．