Question

3．如圖，在正方形ABCD中，P為DC邊上的動點，設向量$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DB}+μ\overrightarrow{AP}$，則λ+μ的取值范圍是[1，3]．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，把向量用坐標表示出來，根據P的坐標表示出λ+μ的表達式，求其最值即可得到范圍．

解答 解：以A為原點，以AB、AD分別為x，y軸建立直角坐標系，設正方形的邊長為2，
則C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]
∴$\overrightarrow{AC}$=（2，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，-2），$\overrightarrow{AP}$=（x，2），
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DB}+μ\overrightarrow{AP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2λ+xμ=2\\-2λ+2μ=2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{2-x}{2+x}\\ μ=\frac{4}{2+x}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=$\frac{6-x}{2+x}$，
令f（x）=$\frac{6-x}{2+x}$，（0≤x≤2）
∵f（x）在[0，2]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（0）=3．f（x）_min=f（2）=1．
故λ+μ的取值范圍是[1，3]，
故答案為：[1，3]．

點評 本題主要考查向量在幾何中的應用，向量的運算，建立坐標系，將問題轉化為坐標運算，是解答的關鍵．