Question

17．函數f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則稱函數f（x）為“理想函數”，則下列四個函數中：①$f（x）=\frac{1}{x}$；②f（x）=x²，③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}（x≥0）\\{x^2}（x＜0）\end{array}\right.$；④$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$可以稱為“理想函數”的有③④．

Answer 1

分析 由新定義可得f（x）為奇函數且為減函數，則稱函數f（x）為“理想函數”．運用奇偶性的定義和二次函數和反比例函數，以及對數函數的單調性，即可判斷．

解答 解：對照新定義可得，函數為奇函數且為減函數，才為“理想函數”．
①$f（x）=\frac{1}{x}$滿足f（-x）+f（x）=0，但f（x）在定義域{x|x≠0}不為減函數，則函數f（x）不為“理想函數”；
②f（x）=x²滿足f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數，則函數f（x）不為“理想函數”；
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}（x≥0）\\{x^2}（x＜0）\end{array}\right.$，當x=0時，f（0）=0；當x＞0時，-x＜0，f（-x）=（-x）²=-f（x）；同樣x＜0時，也有f（-x）=-f（x），
綜上可得f（x）為奇函數；當x＜0時，f（x）遞減；當x＞0時，f（x）也遞減；且f（x）連續，故f（x）為“理想函數”；
④$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$，由x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞0，當x≥0時，顯然成立；當x＜0時，$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞-x，
平方可得1+x²＞x²成立，則定義域為R，f（-x）+f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+1-x²）=0，
則f（x）為奇函數；又x＞0時，x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$為遞增函數，由復合函數的性質：同增異減，可得f（x）為減函數，
則f（x）為“理想函數”．
故答案為：③④．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查函數的奇偶性和單調性，注意運用定義法是解題的關鍵，屬于中檔題．