Question

已知a≠0，試討論函數f（x）=

a

1-x2

在區間（0，1）上單調性，并加以證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：用函數的單調性定義來判斷并證明f（x）在（0，1）上的單調性即可．

解答： 解：a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數，
a＞0時，f（x）在（0，1）上是增函數；
證明如下：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

1-x12

-

a

1-x22

=

a(x1+x2)(x1-x2)

(1-x12)(1-x22)

；
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁+x₂＞0，
x₁-x₂＜0，
（1-x12）（1-x22）＞0；
∴當a＜0時，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在（0，1）上是減函數；
當a＞0時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）在（0，1）上是增函數．
綜上，a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數，
a＞0時，f（x）在（0，1）上是增函數．

點評：本題考查了用函數的單調性定義判斷與證明函數的單調性問題，也考查了分類討論的思想應用問題，是基礎題目．