Question

12．已知：$f（x）=|{2x-\frac{3}{4}}|-|{2x+\frac{5}{4}}|$
（1）關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范圍．

Answer 1

分析 解：（1）首先把f（x）寫(xiě)出分段函數(shù)形式，求出f_min（x）=-2，若f（x）≥a²-3a，只需${f_{min}}（x）=-2≥{a^2}-3a$
（2）由于f_max（x）=2，利用不等式關(guān)系，求出f（m）=f（n）=2即可．

解答 解：（1）由題意：$f（x）=|{2x-\frac{3}{4}}|-|{2x+\frac{5}{4}}|$ 知：
$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2}\\{-4x-\frac{1}{2}}\\{2}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{8}}\\{-\frac{5}{8}＜x＜\frac{3}{8}}\\{x≤-\frac{5}{8}}\end{array}$，所以f_min（x）=-2，
若f（x）≥a²-3a，只需${f_{min}}（x）=-2≥{a^2}-3a$，
即：1≤a≤2；
（2）由于f_max（x）=2，
所以f（m）≤2，f（n）≤2，f（m）+f（n）≤4，
又f（m）+f（n）=4，所以f（m）=f（n）=2，
這樣$m＜n≤-\frac{5}{8}$，所以$m+n＜-\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)與分段函數(shù)，不等關(guān)系以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中等題．