Question

8．等差數列{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5），正項等比數列{b_n}中，b₂=4，b₁b₇=256．
（Ⅰ）求{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5）可知，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n+1，驗證n=1時的情況即可求得數列{a_n}的通項公式；在正項等比數列{b_n}中，由b₂=4，b₁b₇=${{b}_{4}}^{2}$=256，可求得其公比q=2，從而可得數列{b_n}的通項公式；求{a_n}與{b_n的通項公式；
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（3n+1）2ⁿ，可知T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=4×2+（3×2+1）×2²+…+（3n+1）2ⁿ，利用錯位相減法即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5），
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$（3n+5）-$\frac{（n-1）[3（n-1）+5]}{2}$=3n+1，
當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$（3×1+5）=4也適合上式，
∴a_n=3n+1．
在正項等比數列{b_n}中，b₂=4，b₁b₇=${{b}_{4}}^{2}$=256，
∴b₄=16，
∴其公比q²=$\frac{{b}_{4}}{{b}_{2}}$=4，又q＞0，
∴q=2，
∴b_n=b₂q^n-2-2=4×2^n-2=2ⁿ．
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（3n+1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=4×2+（3×2+1）×2²+…+（3n+1）2ⁿ，①
2T_n=4×2²+（3×2+1）×2³+…+[3（n-1）+1）]2ⁿ+（3n+1）2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=4×2+3×2²+…+3×2ⁿ-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）+2-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=3×$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$+2-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=（3-3n-1）2ⁿ⁺¹-4．
∴T_n=（3n-2）2ⁿ⁺¹+4．

點評 本題考查數列的求和，著重考查遞推關系的應用，考查求等差數列與等比數列的通項公式及錯位相減法求和，屬于中檔題．