Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-bx+c，若f（-1）=f（3）且f（0）=3．
（1）求b、c的值；
（2）若函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），試求g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）將f（-1）=f（3），f（0）=3，建立等式關(guān)系求解b，c即可．
（2）函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），當(dāng)x＜0時，-x＞0，利用奇函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的解析式即可．

解答 解：（1）由題意，∵f（0）=3，
∴c=3，
∵f（-1）=f（3）
∴可得x=1為圖象的對稱軸，即：$-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2}=1$，
∴b=2，
故得f（x）=x²-2x+3．
（2）由（1）可得f（x）=x²-2x+3，
當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x）=x²-2x+3，
當(dāng)x＜0時，則-x＞0，
那么：g（-x）=x²+2x+3，
∵g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)x=0時，g（0）=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（-x）=x²+2x+3=-g（x），
可得：g（x）=-x²-2x-3，
故得函數(shù)的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x-3，（x＜0）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的帶值計算和分段函數(shù)的解析式的求法．屬于基礎(chǔ)題．