Question

18．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，且關于x的方程f（x）=x有兩個相等的根為1，設函數f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值分別是M，m，記h（a）=M+m，當a≥1時，求h（a）的最小值．

Answer 1

分析 根據韋達定理得到b=1-2a，c=a，即可得到函數關于參數a的函數，根據二次函數的性質即可求出關于a的函數h（a），根據函數的單調性即可求出最小值．

解答 解：由題意得：方程ax²+（b-1）x+c=0存在相等的實數根x₁=x₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（b-1）^{2}-4ac=0}\\{a+b-1+c=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{b=1-2a}\\{c=a}\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a=a（x-$\frac{2a-1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
對稱軸x=1-$\frac{1}{2a}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
則x∈[-2，2]時，$h（a）=M+m=f（-2）+f（1-\frac{1}{2a}）=9a-\frac{1}{4a}-1$，
而h（a）在[1，+∞）上是增函數，
∴$h{（a）_{min}}=\frac{31}{4}$．

點評 本題考查了二次函數的性質和韋達定理，以及函數的單調性和最值的問題，屬于中檔題．