Question

2．已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=2x有兩等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
（3）是否存在實數m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據判別式=0，求出b的值，再求出f（x）的對稱軸，從而求出a的值，求出函數的表達式即可；
（2）結合函數的對稱軸通過討論t的范圍，得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；
（3）根據函數的單調性得到關于m、n的方程組，求出m、n的值即可．

解答 解：（1）∵方程f（x）=2x有兩等根，ax²+（b-2）x=0有兩等根，
∴△=（b-2）²=0，解得b=2，
∵f（x-1）=f（3-x），∴x=1是函數的對稱軸，
又此函數圖象的對稱軸是直線x=-$\frac{b}{2a}$，∴-$\frac{b}{2a}$=1，∴a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（2）∵函數f（x）=-x²+2x對稱軸為x=1，x∈[0，t]，
∴當t≤1時，f（x）在[0，t]上是增函數，∴f（x）_max=-t²+2t，
當t＞1時，f（x）在[0，1]上是增函數，在[1，t]上是減函數，∴f（a）_max=f（1）=1，
綜上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{1，t＞1}\\{-{t}^{2}+2t，t≤1}\end{array}\right.$．
（3）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$．
而拋物線y=-x²+2x的對稱軸為x=1，∴當n≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在[m，n]上為增函數．
若滿足題設條件的m，n存在，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=4m}\\{f（n）=4n}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$，又m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，這時，定義域為[-2，0]，值域為[-8，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評 本題考察了二次函數的性質，考察函數的單調性最值問題，是一道中檔題．