Question

19．已知函數f（x）滿足$f（x）=\sqrt{\frac{kx-1}{x-1}}$，（k＞0）．
（1）討論函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）在區間[10，+∞）上是增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過k=1時，k＞1時，當0＜k＜1時，分別求解函數f（x）的定義域．
（2）化簡函數的解析式，f（x）在區間[10，+∞）上是增函數只需$g（x）=k+\frac{k-1}{x-1}$在區間[10，+∞）遞增，且非負，轉化即當x₁＞x₂≥10時，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（x{\;}_2-{x_1}）（k-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}＞0$恒成立．轉化不等式求解即可．

解答 （12分）
解：（1）當k=1時，函數f（x）的定義域為：{x|x≠1}；
當k＞1時，函數f（x）的定義域為：$\left\{{\left.x\right|x≤\frac{1}{k}或x＞1}\right\}$；
當0＜k＜1時，函數f（x）的定義域為：$\left\{{\left.x\right|x＜1或x≥\frac{1}{k}}\right\}$（6分）

（2）$f（x）=\sqrt{\frac{kx-1}{x-1}}=\sqrt{k+\frac{k-1}{x-1}}$，
∴f（x）在區間[10，+∞）上是增函數，只需$g（x）=k+\frac{k-1}{x-1}$在區間[10，+∞）遞增，且非負．
即當x₁＞x₂≥10時，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（x{\;}_2-{x_1}）（k-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}＞0$恒成立．
而x₂-x₁＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴k-1＜0即可，
又∵g（x）≥0在區間[10，+∞）只需g（10）≥0，
∴$k≥\frac{1}{10}$．
綜上  $\frac{1}{10}≤k＜1$（12分）

點評 本題考查函數恒成立，函數的定義域以及函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．