Question

6．已知函數f（x）=（x²+$\frac{3}{2}$）（x+a）（a∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的范圍；
（Ⅱ）若f′（-1）=0．證明：對任意的x₁，x₂∈，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{5}{16}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函數f（x）的導函數，函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即導函數為零時有實數解，再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍
（Ⅱ）先由f′（-1）=0求出a值；從而求出求函數f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，當這兩個值差的絕對值小于$\frac{5}{16}$，即證明了x₁、x₂∈（-1，0）時，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{5}{16}$恒成立．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$a，∴f′（x）=3x²+2ax+$\frac{3}{2}$，
（Ⅰ）∵函數f（x）的圖象有與x軸平行的切線，
∴f′（x）=0有實數解則△=4a²-4×3×$\frac{3}{2}$≥0，a²≥$\frac{9}{2}$，
所以a的取值范圍是（-∞，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，+∞）
（Ⅱ）證明：∵f′（-1）=0，∴3-2a+$\frac{3}{2}$=0，a=$\frac{9}{4}$，
∴f′（x）=3x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{3}{2}$=3（x+$\frac{1}{2}$）（x+1）
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$；
由f′（x）＜0得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1），（-$\frac{1}{2}$，+∞），單調減區間為（-1，-$\frac{1}{2}$）；
∴f（x）的最大值為f（-1）=$\frac{25}{8}$，
f（x）的極小值為f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{49}{16}$，又f（0）=$\frac{27}{8}$，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=$\frac{27}{8}$，最小值m=$\frac{49}{16}$，
∴對任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=$\frac{5}{16}$．

點評 本題綜合考查了導數在研究函數性質中的應用，特別是在研究函數單調性和最值上的應用，解題時要透徹理解導數的幾何意義，規范在求單調區間及最值時的解題步驟．