Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，AB=AC，E，F，H分別是A₁C₁，BC，AC的中點．
（1）求證：平面C₁HF∥平面ABE．
（2）求證：平面AEF⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （1）證明HF∥AB．EC₁∥AH，推出C₁H∥AE，然后證明平面C₁HF∥平面ABE．
（2）證明AF⊥BC，B₁B⊥AF，得到AF⊥平面B₁BCC₁，然后證明平面AEF⊥平面B₁BCC₁

解答 （本小題8分）證明：（1）∵F，H分別是BC，AC的中點，∴HF∥AB．
又∵E，H分別是A₁C₁，AC的中點，∴EC₁∥AH
又∵EC₁=AH∴四邊形EC₁HA為平行四邊形．∴C₁H∥AE，
又∵C₁H∩HF=H，AE∩AB=A，
所以平面C₁HF∥平面ABE．
（2）∵AB=AC，F為BC中點，∴AF⊥BC，∵B₁B⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴B₁B⊥AF，∵B₁B∩BC=B，∴AF⊥平面B₁BCC₁
又∵AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁

點評 本題考查平面與平面垂直以及平面與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．