Question

3．函數f（x）的圖象是如圖所示的折線段OAB，點A坐標為（1，2），點B坐標為（3，0），
定義函數g（x）=f（x）•（x-1），則函數g（x）最大值為1．

Answer 1

分析 先根據函數f（x）的圖象求出解析式，再根據g（x）=f（x）•（x-1）求得函數g（x）的解析式，分段求出最大值，則函數g（x）最大值可求．

解答 解：如圖，由圖可知，
函數f（x）的解析式為：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤1}\\{-x+3，1＜x≤3}\end{array}\right.$，
又∵g（x）=f（x）•（x-1），
∴函數g（x）的解析式為：
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，0≤x≤1}\\{-{x}^{2}+4x-3，1＜x≤3}\end{array}\right.$，
當0≤x≤1時，g（x）=$2（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$，
∴g（x）_max=g（1）=g（0）=0；
當1＜x≤3時，g（x）=-（x-2）²+1≤1．
∴函數g（x）最大值為1，
故答案為：1．

點評 本題考查的是分段函數解析式的求法和分段函數求最值的求法，體現了數形結合、分類討論及數學轉化思想方法，是中檔題．