Question

14．已知a∈R，函數$f（x）={2^{\frac{1}{x}+a}}$．
（1）當a=1時，解不等式f（x）＞4；
（2）若f（x）＞2^-x在x∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）-2^{（a-4）x+2a-5}=0在區間（-2，0）內的解恰有一個，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），解不等式即可；
（2）問題轉化為 $\frac{1}{x}+x＞-a$在[2，3]恒成立，令$g（x）=x+\frac{1}{x}$，根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（3）問題轉化為（x-1）[（a-4）x-1]=0，通過討論a的范圍，結合方程解的個數，確定a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=1時，$f（x）={2^{\frac{1}{x}+1}}$，
由f（x）＞4得${2^{\frac{1}{x}+1}}＞4={2^2}$，…..（1分）
所以 $\frac{1}{x}+1＞2⇒\frac{1}{x}＞1⇒0＜x＜1$，
即不等式的解集是（0，1）．…（3分）
（2）因為f（x）＞2^-x在[2，3]恒成立，
即${2^{\frac{1}{x}+a}}＞{2^{-x}}$在[2，3]恒成立，
即$\frac{1}{x}+a＞-x$在[2，3]恒成立，
即 $\frac{1}{x}+x＞-a$在[2，3]恒成立…..（5分）
令$g（x）=x+\frac{1}{x}$，由${g^'}（x）=1-\frac{1}{x^2}＞0$在[2，3]恒成立，
所以g（x）在區間[2，3]單調遞增，…（7分）
所以g（x）的最小值為$g（2）=\frac{5}{2}$，
所以$-a＜\frac{5}{2}$，即$a＞-\frac{5}{2}$…..…．…（9分）
（3）由題意得${2^{\frac{1}{x}+a}}-{2^{（a-4）x+2a-5}}=0$
所以$\frac{1}{x}+a=（a-4）x+2a-5$，
即（a-4）x²+（2a-5）x-1=0，
即（x-1）[（a-4）x-1]=0…．（11分）
①當a=4時，x=-1∈（-2，0），滿足題意；…．（12分）
②當a≠4時，
i．$x=\frac{1}{a-4}=-1$，即a=3，滿足題意；…（13分）
ii．$x=\frac{1}{a-4}≤-2$或$x=\frac{1}{a-4}≥0$解$\frac{7}{2}≤a＜4$或a＞4..（15分）
從而   $a∈\{3\}∪[\frac{7}{2}，+∞）$…（16分）

點評 本題考查了解不等式問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．