Question

9．已知集合A=[-3，3]，B=[-2，2]，設M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M內隨機取出一個元素（x，y）．
（1）求以（x，y）為坐標的點落在圓x²+y²=4內的概率；
（2）求以（x，y）為坐標的點到直線x+y=0的距離不大于$\sqrt{2}$的概率．
（提示：可以考慮采用數形結合法）

Answer 1

分析 （1）集合M表示的區域的面積為6×4=24，此圓x²+y²=4的面積表示滿足條件的基本事件，所求為面積比；
（2）求出滿足以（x，y）為坐標的點到直線x+y=0的距離不大于$\sqrt{2}$面積，則求面積比即可．

解答 解：（1）A=[-3，3]，B=[-2，2]，設M={（x，y）|x∈A，y∈B}，表示的區域的面積為6×4=24．
圓x²+y²=4的面積為4π，
∴以（x，y）為坐標的點落在圓x²+y²=4內的概率為P₁=$\frac{4π}{24}$=$\frac{π}{6}$，
（2）由題意，到直線x+y=0的距離不大于$\sqrt{2}$的點為夾在兩條平行直線x+y-2=0與x+y+2=0之間的范圍內，如圖所示，
故所求事件的概率為${P_2}=\frac{{6×4-2×\frac{1}{2}×3×3}}{6×4}=\frac{5}{8}$．

點評 本題考查了幾何概型的概率求法，關鍵是將所求的概率利用基本事件的集合度量即區域的長度或者面積或者體積表示，求比值．