Question

6．若數列{a_n}滿足$（{2n+3}）{a_{n+1}}-（{2n+5}）{a_n}=（{2n+3}）（{2n+5}）lg（{1+\frac{1}{n}}）$，且a₁=5，則數列$\left\{{\frac{a_n}{2n+3}}\right\}$的第100項為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 1+lg99
• D． 2+lg99

Answer 1

分析 將已知等式兩邊同除以（2n+3）（2n+5）化簡得到遞推公式，設$_{n}=\frac{{a}_{n}}{2n+3}$，利用累加法和遞推公式求出b_n，將n=100代入求出b₁₀₀，即可得到答案．

解答 解：因為$（2n+3）{a}_{n+1}-（2n+5）{a}_{n}=（2n+3）（2n+5）lg（1+\frac{1}{n}）$，
所以兩邊同除以（2n+3）（2n+5）得，
$\frac{{a}_{n+1}}{2n+5}$-$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=$lg（1+\frac{1}{n}）$=lg（n+1）-lgn，
設$_{n}=\frac{{a}_{n}}{2n+3}$，則$_{n+1}-_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{2n+5}-\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=lg（n+1）-lgn，
由a₁=5得，$_{1}=\frac{{a}_{1}}{2+3}$=1，
所以當n≥2時，
b₂-b₁=lg2-lg1，b₃-b₂=lg3-lg2，…，b_n-b_n-1=lgn-lg（n-1），
以上n-1個式子相加得，b_n-b₁=lgn-lg1，
則b_n=b₁+lgn=lgn+1，
所以b₁₀₀=lg100+1=3，即數列$\{\frac{{a}_{n}}{2n+3}\}$的第100項是3，
故選B．

點評 本題考查了數列遞推公式的化簡以及應用，累加法求數列的通項公式，考查化簡、變形能力．