Question

16．已知在三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，若P是BC邊上的動點，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍是（　　）

• A． [-1，3]
• B． $[{-\frac{2}{3}，3}]$
• C． $[{-\frac{2}{3}，\frac{10}{3}}]$
• D． $[{-1，\frac{10}{3}}]$

Answer 1

分析 利用余弦定理求得AB、AC的值，再根據E是線段BC較靠近點C的一個四等分點，利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量數量積的運算求得 $\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{12λ-2}{3}$，λ∈[0，1]，從而求得它的取值范圍．

解答 解：設AB=AC=x，則由BC=4，∠BAC=120°，
利用余弦定理可得16=x²+x²-2x•xcos120°，∴x=$\sqrt{\frac{16}{3}}$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x•x•cos120°=-$\frac{8}{3}$．
∵$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，∴E是線段BC較靠近點C的一個四等分點，
若P是BC邊上的動點，則$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，λ∈[0，1]，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$）
=[（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$]•（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$ ）
=$\frac{1-λ}{4}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（$\frac{3-3λ}{4}$+$\frac{λ}{4}$）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{3λ}{4}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$ 
=$\frac{1-λ}{4}$•$\frac{16}{3}$+$\frac{3-2λ}{4}$•（-$\frac{8}{3}$）+$\frac{3λ}{4}$•$\frac{16}{3}$=$\frac{12λ-2}{3}$，
故當λ=0時，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$ 取得最小值為-$\frac{2}{3}$，當λ=1時，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$ 取得最大值為$\frac{10}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查余弦定理，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量數量積的運算，屬于中檔題．