Question

16．已知數列a₁，a₂，a₃，a₄滿足a₁=a₄，$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$=a_n+1-$\frac{1}{{a}_{n}}$（n=1，2，3），則a₁所有可能的值構成的集合為（　　）

• A． {±$\frac{1}{2}$，±1}
• B． {±1，±2}
• C． {±$\frac{1}{2}$，±2}
• D． {±$\frac{1}{2}$，±1，±2}

Answer 1

分析 根據已知中$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$=a_n+1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，可得$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=a_n+1+$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$，利用排除法，可得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$=a_n+1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=a_n+1+$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$，
當a₁=a₂=a₃=a₄=±1時，顯然滿足條件，故排除C；
當a₁=a₄=±2時，a₂=±1，a₃=±$\frac{1}{2}$時，顯然滿足條件，故排除A；
當a₁=a₄=±$\frac{1}{2}$時，a₂=±2，a₃=±1時，顯然滿足條件，故排除B；
故選：D．

點評 本題考查的知識點是數列的遞推公式，本題難度較大，直接求值，分類比較多，易采用排除法解答．