Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，若雙曲線上存在點P，使得|PF₁|=3|PF₂|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． （1，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|=2a，再根據點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=a，
∵點P在雙曲線的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴a≥c-a，即2a≥c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤2，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，2]．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．