Question

【題目】已知是定義在上的函數，如果存在常數，對區間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數”。注：。

（1）證明函數在上是“絕對差有界函數”。

（2）證明函數不是上的“絕對差有界函數”。

（3）記集合存在常數，對任意的，有成立，證明集合中的任意函數為“絕對差有界函數”，并判斷是否在集合中，如果在，請證明并求的最小值；如果不在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析，的最小值為.

【解析】

（1）首先化簡函數，并且函數在區間上為單調遞增函數，由定義可知任意劃分區間，根據定義求；

（2）取區間的一個劃分：，代入則有，由此根據定義判斷是否存在；

（3）利用不等式的傳遞性證明，

，利用和差化積公式化簡證明求的最小值.

解：（1）因為在區間上為單調遞增函數，

所以當時，有，

所以。

從而對區間的任意劃分：，存在，成立。

綜上，函數在上是“絕對差有界函數”。

（2）取區間的一個劃分：，

則有：

所以對任意常數，只要足夠大，就有區間的一個劃分：

滿足。

（3）證明：任取，存在常數有成立。從而對區間的任意劃分：，和式成立。取，所以集合中的任意函數為“絕對差有界函數”。

因為，所以對任意的有

，

所以的最小值為。