Question

【題目】對于無窮數列，，若－…，則稱是的“收縮數列”.其中，，分別表示中的最大數和最小數.已知為無窮數列，其前項和為，數列是的“收縮數列”.

（1）若，求的前項和；

（2）證明：的“收縮數列”仍是；

（3）若，求所有滿足該條件的.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）所有滿足該條件的數列為

【解析】

（1）由可得為遞增數列，，，從而易得；

（2）利用，

，可證是不減數列（即），而，由此可得的“收縮數列”仍是.

（3）首先，由已知，當時，；當時，，；當時，（*），這里分析與的大小關系，，均出現矛盾，，結合(*)式可得，因此猜想（），用反證法證明此結論成立，證明時假設是首次不符合的項，則，這樣題設條件變為（*），仿照討論的情況討論，可證明．

解：（1）由可得為遞增數列，

所以，

故的前項和為.

（2）因為，

，

所以

所以.

又因為，所以，

所以的“收縮數列”仍是.

（3）由可得

當時，；

當時，，即，所以；

當時，，即（*），

若，則，所以由（*）可得，與矛盾；

若，則，所以由（*）可得，

所以與同號，這與矛盾；

若，則，由（*）可得.

猜想：滿足的數列是：

.

經驗證，左式，

右式.

下面證明其它數列都不滿足（3）的題設條件.

法1：由上述時的情況可知，時，是成立的.

假設是首次不符合的項，則，

由題設條件可得（*），

若，則由（*）式化簡可得與矛盾；

若，則，所以由（*）可得

所以與同號，這與矛盾；

所以，則，所以由（*）化簡可得.

這與假設矛盾.

所以不存在數列不滿足的符合題設條件.

法2：當時，，

所以

即

由可得

又，所以可得，

所以，

即

所以等號成立的條件是

，

所以，所有滿足該條件的數列為.