Question

16．某中學為了解高一年級學生身體發育情況，對全校1400名高一年級學生按性別進行分層抽樣檢查，測得一組樣本的身高（單位：cm）頻數分布表如表1、表2．
表1：男生身高頻數分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
頻數	2	5	11	4	5	3

表2：女生身高頻數分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
頻數	2	8	15	12	2	1

（I）估計該校高一女生的人數：
（II）估計該校學生身高在[165，180）的概率；
（III）以樣本頻率為概率，現從高一年級的男生和女生中分別選出1人，設X表示身高在[165，180）的學生人數，求X的分布列及數學期望EX．

Answer 1

分析 （I）由表1、表2求得樣本容量以及樣本中男女生人數，求出高一女生人數；
（II）用頻率估計該校學生身高在[165，180）的概率；
（III）由題意知X的可能取值，求出對應的概率值，
寫出X的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（I）由表1和2可得，樣本容量為70，樣本中男女生人數分別為30，40，
則高一女生人數為1400×$\frac{40}{70}$=800，
因此估計該校高一女生人數為800；
（II）由表1和2可得樣本中男女生身高在[165，180）的人數為：
5+11+4+12+2+1=35，樣本容量為70，
所以樣本中該校學生身高在[165，180）的概率為P=$\frac{35}{70}$=$\frac{1}{2}$，
即估計該校學生身高在[165，180）的概率為$\frac{1}{2}$；
（III）由題意可得，X的可能取值為0，1，2，
由表格可知，女生身高在[165，180）的概率為$\frac{15}{40}$=$\frac{3}{8}$，
男生身高在[165，180）的概率為$\frac{20}{30}$=$\frac{2}{3}$，
所以P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{3}{8}$）=$\frac{5}{24}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{8}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{3}{8}$=$\frac{10}{24}$+$\frac{3}{24}$=$\frac{13}{24}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{6}{24}$；
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{5}{24}$	$\frac{13}{24}$	$\frac{6}{24}$

數學期望為EX=0×$\frac{5}{24}$+1×$\frac{13}{24}$+2×$\frac{6}{24}$=$\frac{25}{24}$．

點評 本題考查了頻率分布表與離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算問題，是中檔題．